Question

5．如图1在△HGI中，如果O、P分别是GH、GP的中点，那么OP∥HI且OP=$\frac{1}{2}$HI．利用此结论解决如下问题：如图2，已知在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）先判断出MA=MD，∠A=∠D=90°，AB=DC即可判断出结论；
（2）先判断出四边形MENF是平行四边形，再判断出ME=MF即可得出结论；
（3）先判断出∠AMB+∠DMC=90°，进而判断出∠AMB=∠ABM=45°，即可得出AB=AM，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
∵M是边AD的中点，
∴MA=MD，
在△ABM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠A=∠B}\\{MA=MD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是菱形；
理由：∵N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，
∴NE∥CM，NE=$\frac{1}{2}$CM，MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴NE=FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知，△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E，F分别是BM、CM的中点，
∴ME=$\frac{1}{2}$BM，MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴ME=MF，
∴?MENF是菱形；

（3）∵四边形NEMF是正方形，
∴∠EMF=90°，
∴∠AMB+∠DMC=90°，
由（1）知，△ABM≌△DCM，
∴∠AMB=∠DMC，
∴∠AMB=45°，
在△ABM中，∠ABM=90°-45°=45°，
∴AB=AM，
∵M是AD的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB，
∴AD：AB=2：1，
故答案为2：1．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出MA=MD，解（2）的关键是判断出四边形MENF是平行四边形，解（3）的关键是判断出∠AMB=∠ABM=45°．