Question

1．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2$\sqrt{30}$．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=8．

Answer 1

分析 MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．

解答 解：过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′=4，连接A′B，与直线b交于点N，过M作直线a的垂线，交直线a于点N，连接AN，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图．
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM=A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE=2+3+4=9，AB=$2\sqrt{30}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∵A′E=AE-AA′=9-4=5，
∴A′B=$\sqrt{A′{E}^{2}+B{E}^{2}}$=8
所以AM+NB的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．