Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与直线AC分别交于x轴，y轴于点B、C、A，过点B作BD⊥AC于D，交y轴与点E，若∠BAC=45°，点B、C、E的坐标分别B（-3，0）、C（2，0）、E（0，1），过点A作AF∥x轴，交OD的延长线于点F，连接CF，在平面直角坐标系中，是否存在点K，使△OKF与△OCF全等？若存在，求出点K的坐标并画出图形；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出BE，再证明△OBE∽△DBC，得出比例式$\frac{OB}{BD}=\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{DC}$，求出BD、DC，再由△AOC∽△BOE，得出比例式求出OA，证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，然后由AF∥BC，证出△OCD∽△FAD，得出AF=OA，△AOF是等腰直角三角形，得出∠AOF=∠COF=45°，由△OKF≌△OCF，得出OK=OC=2，点K在y轴上，即可得出点K的坐标．

解答 解：存在，点K坐标为：0，2）；理由如下：
∵B（-3，0）、C（2，0）、E（0，1），
∴OB=3，OC=2，OE=1，
∴BC=5，BE=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵∠EBO=∠CBD，
∴△OBE∽△DBC，
∴$\frac{OB}{BD}=\frac{BE}{BC}=\frac{OE}{DC}$，
即$\frac{3}{BD}=\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{1}{DC}$，
∴BD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，DC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠AOC=∠BOE=90°，
∴∠OAC+∠OCA=90°，∠EBO+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠EBO，
∴△AOC∽△BOE，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OE}$=$\frac{2}{1}$，
∴OA=2OB=6，
∵∠BAC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵AF∥BC，
∴∠OAF=∠AOB=90°，△OCD∽△FAD，
∴$\frac{OC}{AF}=\frac{DC}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴AF=3OC=6，
∴OA=AF，
∴∠AOF=∠AFO=45°，
∴∠COF=45°，
∵△OKF≌△OCF，
∴OK=OC=2，点K在y轴上，
∴点K的坐标为：（0，2）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了坐标与图形特征、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题难度较大，综合性强，需要证明三角形相似得出比例式和等腰直角三角形才能得出结果．