Question

20．如图①，四边形ABCD是正方形，G为BC上任意一点（点G与B，C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．
（1）求证：△AED≌△DFC；
（2）如图②，延长AE，交DC于H，连接AG，BH，交点为P．
①求证：AG⊥BH；
②当G为BC中点时，连接AF，求证：S_△AEF=4S_△DEH．

Answer 1

分析 （1）首先根据正方形的特征，可得AD=DC，∠ADC=90°，然后判断出∠EAD=∠FDC，即可证明△ADE≌△DCF．
（2）①首先判断出△ADH≌△DCG，判断出DH=CG，进而判断出CH=BG；然后判断出△ABG≌△BCH，即可判断出∠BAG=∠CBH；最后判断出∠APB=90°，即可判断出AG⊥BH．
②首先根据三角形相似的判断方法，判断出△DEH∽△AEF，然后求出两个三角形的相似比是多少；最后根据$\frac{{S}_{△DEH}}{{S}_{△AEF}}{=（\frac{1}{2}）}^{2}=\frac{1}{4}$，可得S_△AEF=4S_△DEH，据此判断即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°．
又∵AE⊥DG，CF⊥AE，
∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
在△AED和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFC}\\{AD=DC}\\{∠EAD=∠FDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFC（SAS）．

（2）①证明：在△ADH和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠DCG}\\{AD=DC}\\{∠DAH=∠CDG}\end{array}\right.$
∴△ADH≌△DCG（SAS），
∴DH=CG，
∵CD=BC，
∴CH=BG，
在△ABG和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠BCH}\\{BG=CH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCH（SAS），
∴∠BAG=∠CBH，
∵∠CBH+∠ABP=90°，
∴∠BAG+∠ABP=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴AG⊥BH．

②证明：当G为BC中点时，
可得CH=BG=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CD$，
∴H为CD的中点，
∵CF∥AE，
∴DE=EF，
设DH=a，则AD=2a，
则tan∠CDG=tan∠DAH=$\frac{1}{2}$，
在△DEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEH=∠AEF}\\{∠EDH=∠EAF}\end{array}\right.$，
∴△DEH∽△AEF（AA），
∴$\frac{{S}_{△DEH}}{{S}_{△AEF}}{=（\frac{1}{2}）}^{2}=\frac{1}{4}$，
∴S_△AEF=4S_△DEH．

点评 （1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握全等三角形的判定方法．
（3）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握相似三角形的判定方法．