Question

20．如图，已知A、B是反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上两点，BP⊥x轴，垂足为P．
已知∠AOP=45°，OA=4，tan∠BOP=$\frac{1}{2}$．
（1）求点A的坐标；
（2）连接AB，求四边形AOPB的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A作AC⊥OP交OP于点C，在Rt△AOC中，通过解直角三角形即可求出点A的坐标；
（2）由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，在Rt△OBP中，通过解直角三角形可求出点B的坐标，利用分割图形求面积法结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出四边形AOPB的面积．

解答 解：（1）过点A作AC⊥OP交OP于点C，如图所示．
在Rt△AOC中，∠AOP=45°，OA=4，
∴AC=OC=2$\sqrt{2}$，
∴点A的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

（2）把A（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
2$\sqrt{2}$=$\frac{k}{2\sqrt{2}}$，解得：k=8，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$．
在Rt△OBP中，tan∠BOP=$\frac{1}{2}$，即OP=2BP，设BP=m，则点B（2m，m），
把B（2m，m）代入y=$\frac{8}{x}$中，
m=$\frac{8}{2m}$，解得：m=2，
∴BP=2，OP=4，
∴S_{四边形AOPB}=S_{四边形ACPB}+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{2}$）×（4-2$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×8=4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出点A的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出四边形AOPB的面积．