Question

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=$\sqrt{2}$，点D是边AC上一点，连接BD，并将
△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在边AB上的点E处，过点D作DF⊥BD，交AB于点F．
（1）求证：∠ADF=∠EDF；
（2）探究线段AD，AF，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若EF=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可得∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，再由折叠的性质得∠BDE=∠BDC，即可得出结论；
（2）由折叠的性质与已知得∠DEF=∠BDF=∠C=90°，推出∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，得出∠EDF=∠ABD，∠ADF=∠DBA，证得△ADF∽△ABD，对应边成比例即可得出结果；
（3）在Rt△ADE中，tanA=DE：AE=$\sqrt{2}$：1，设AE=x，则DE=$\sqrt{2}$x，由勾股定理可解得AD=$\sqrt{3}$x，证得△BDE∽△DFE，得出DE²=EF•EB，解得BE=2x²，再由（2）知AD²=AF•AB，即（$\sqrt{3}$x）²=（AE-EF）（AE+BE）=（x-1）×（x+2x²），解得x的值，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵DF⊥DB，
∴∠BDF=90°，
∴∠ADF+∠BDC=∠EDF+∠BDE=90°，
由折叠性质得：∠BDE=∠BDC，
∴∠ADF=∠EDF；

（2）解：AD，AF，AB之间的数量关系为AD²=AF•AB，理由如下：
由折叠性质得：∠DEF=∠BDF=∠C=90°，
∴∠EDF+∠DFE=∠ABD+∠DFE=90°，
∴∠EDF=∠ABD，
∴∠ADF=∠DBA，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABD，
∴AF：AD=AD：AB，
∴AD²=AF•AB；

（3）解：在Rt△ADE中，tanA=DE：AE=$\sqrt{2}$：1，
设AE=x，则DE=$\sqrt{2}$x，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∵∠ABD=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴△BDE∽△DFE，
∴DE：EF=BE：DE，即DE²=EF•EB，
∴（$\sqrt{2}$x）²=1×BE，即BE=2x²，
由（2）知AD²=AF•AB，
∴（$\sqrt{3}$x）²=（AE-EF）（AE+BE）=（x-1）×（x+2x²），
即3x²=（x-1）×（x+2x²），
解得：x=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，x=1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$（不合题意舍去），
∴BE=2x²=2（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=5+2$\sqrt{6}$，
由折叠可知，BC=BE=5+2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、一元三次方程的解法等知识，熟练掌握折叠的性质以及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．