Question

【题目】对于平面直角坐标系上的点和，定义如下：若上存在两个点，使得点在射线上，且，则称为的依附点．

（1）当的半径为1时

①已知点，，，在点中，的依附点是______；

②点在直线上，若为的依附点，求点的横坐标的取值范围；

（2）的圆心在轴上，半径为1，直线与轴、轴分别交于点，若线段上的所有点都是的依附点，请求出圆心的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①D、E；②＜t＜或﹣＜t＜﹣；（2）＜＜﹣2或﹣1＜＜2

【解析】

（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，判断出当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点，由此即可判断．

②分两种情形：点T在第一象限或点T在第三象限分别求解即可．

（2）分两种情形：点C在点M的右侧，点C在点M的左侧分别求解即可解决问题．

解：（1）①如图，

∵∠ADB＝∠AOB，∠APB＝∠AOB，

∴∠ADB＝2∠APB，

∴∠DAP＝∠APB，

∴AD＝DP，

当点A和点B重合时，OP＝3r

当点A与点D重合时，OP＝r，

∵0°＜∠ACB＜180°，

∴r＜OP＜3r

根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．

如图1中，∵D（﹣2.5，0），E（0，﹣2），F（1，0），

∴OD＝2.5，OE＝2，OF＝1，

∴1＜OD＜3，1＜OE＜3，

∴点D，E是⊙C的依附点，

故答案为：D、E；

②如图2，

∵点T在直线y＝x上，

∴点T在第一象限或第三象限，直线y＝x与x轴所夹的锐角为45°，

当点T在第一象限，当OT＝1时，作CT⊥x轴，易求点C（，0），当OT'＝3时，作DT'⊥x轴，易求D（，0），

∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围＜t＜，

当点T在第三象限，同理可得满足条件的点T的横坐标t的取值范围﹣＜t＜﹣，

综上所述：满足条件的点T的横坐标t的取值范围：＜t＜或﹣＜t＜﹣，

（3）如图3﹣1中，当点C在点M的左侧时，

由题意M（﹣1，0），N（0，2）

当CN＝3时，OC＝，此时C（，0），

当CM＝1时，此时C（﹣2，0），

∴满足条件的的值的范围为＜＜﹣2．

如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，

当⊙C与直线MN相切时，

由题意M（﹣1，0），N（0，2）

∴MN＝，

∴sin∠OMN＝，

∴C'M＝

∴C'O＝﹣1，

∴C′（﹣1，0），

当CM＝3时，C（2，0），

∴满足条件的的取值范围为﹣1＜＜2，

综上所述，满足条件的的取值范围为：＜＜﹣2或﹣1＜＜2．