Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，BC是斜边，AD∥BC，BD交AC于点E且BD=BC．求证：CE=CD．

Answer 1

考点：等腰直角三角形,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：过D作BC的垂线交BC于M点，过A作BC的垂线交BC于N点，因此AN∥DM，因为AD∥BC，所以DM=AN，根据等腰直角三角形性质得出BC=2AN=2DM，即BD=2DM，角DMB为直角，所以∠DBC=30°，求出∠DEC=75°，∠BDC=75°，即可得出答案．

解答：证明：
过D作BC的垂线交BC于M点，过A作BC的垂线交BC于N点，
则AN∥DM，
∵AD∥BC，
∴四边形ANMD是矩形，
∴DM=AN，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=2AN=2DM，
∵BD=BC，
∴BD=2DM，
∵∠DMB为直角，
∴∠DBC=30°，
∴∠DEC=45°+30°=75°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=

1

2

（180°-∠DBC）=

1

2

（180-30）=75°，
∴∠DEC=∠EDC，
∴CE=CD．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，含30度角的直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，综合性比较强，有一定的难度．