Question

已知：如图1，点M在x轴正半轴上，⊙M交坐标轴于A、B、C、D点，A（-1，0），C（0，

3

）．

（1）求⊙M的半径；
（2）如图2，若点E为弧AC的中点，点D为弧EF的中点，在弧DF上有一动点P，连接DP，过点D作DQ⊥DP交PE于点Q连接QF，若N为PE的中点，试判断DN与QF的关系，并说明理由；
（3）如图3，点P为优弧CBD上一动点，连接PC、PA、PD，在PA上取点G使得GA=AC，求

PC+PD-CD

PG

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,勾股定理,三角形中位线定理,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：压轴题

分析：（1）由A（-1，0），C（0，

3

）可得OA=1，OC=

3

．设⊙M的半径为r，在Rt△COM中运用勾股定理就可求出⊙M的半径．
（2）连接ED并延长到点S，使得SD=ED，连接SP并延长交QF于点R，连接FE、FD、FP、FS、MC，如图2．先求出

AC

的度数，然后根据条件可得到EF是⊙M的直径．可证到△EDF和△QDP都是等腰直角三角形，从而可以证到△EDQ≌△FDP，则有EQ=FP．根据三角形中位线定理可得DN∥PS，DN=

1

2

PS；DM∥FS，DM=

1

2

FS．进而可以得到EF=FS，∠PEF=∠PFS，从而可以证到△EQF≌△FPS，则有QF=PS，∠EFQ=∠FSP，进而可证到DN=

1

2

QF，SR⊥QF，然后由DN∥SR就可得到DN⊥QF．
（3）设AP与CD交于点K，连接DA、DP，如图3．根据勾股定理可求出AC长，由

AC

=

AD

可得AC=AD．易证△APC∽△ACK，从而可以得到PC=

AP•CK

AC

，同理可得PD=

AP•KD

AD

，进而可以得到PC+PD-CD=

3

PG，就可求出

PC+PD-CD

PG

的值．

解答：解：（1）连接MC，如图1．
∵A（-1，0），C（0，

3

），
∴OA=1，OC=

3

．
设⊙M的半径为r，则有MA=MC=r．
∵∠COM=90°，
∴OM²+OC²=MC²．
∴（r-1）²+（

3

）²=r²．
解得：r=2．
∴⊙M的半径为2．

（2）DN=

1

2

QF，DN⊥QF．
证明：连接ED并延长到点S，使得SD=ED，连接SP并延长交QF于点R，
连接FE、FD、FP、FS、MC，如图2．
在Rt△COM中，
∵sin∠CMO=

OC

CM

=

3

2

，
∴∠CMO=60°．
∴

AC

的度数为60°．
∵MA⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴

AD

的度数为60°．
∵点E为弧AC的中点，
∴

AE

=

EC

=

1

2

AC

．
∴

AE

的度数为30°．
∴

DE

的度数为90°．
∵点D为弧EF的中点，
∴

DE

=

FD

．
∴

DF

的度数为90°．
∴

EF

的度数为180°．
∴EF是⊙M的直径．
∴∠EDF=90°．
∵

DE

=

FD

，∴DE=FD．
∵

DE

的度数为90°，
∴∠DPE=45°．
∵DQ⊥DP，即∠QDP=90°，
∴∠DQP=90°-45°=45°=∠DPQ．
∴DQ=DP．
∵∠EDF=∠QDP=90°，
∴∠EDQ=∠FDP．
在△EDQ和△FDP中，

DE=DF ∠EDQ=∠FDP DQ=DP

．
∴△EDQ≌△FDP．
∴EQ=FP．
∵N为PE的中点，ED=SD，
∴DN∥PS，DN=

1

2

PS．
∵DE=DS，ME=MF，
∴DM∥FS，DM=

1

2

FS．
∴∠EFS=∠EMD=90°，EF=FS．
∵EF是⊙M的直径，
∴∠EPF=90°．
∵∠EFS=∠EPF=90°，
∴∠PEF=90°-∠EFP=∠PFS．
在△EQF和△FPS中，

EF=FS ∠QEF=∠PFS EQ=FP

．
∴△EQF≌△FPS（SAS）．
∴QF=PS，∠EFQ=∠FSP．
∴DN=

1

2

PS=

1

2

QF，∠FSP+∠RFS=∠EFQ+∠RFS=90°．
∴∠SRF=90°，即SR⊥QF．
∵DN∥PS，即DN∥SR，
∴DN⊥QF．

（3）设AP与CD交于点K，连接DA、DP，如图3．
∵∠AOC=90°，OA=1，OC=

3

，
∴AC=

OA2+OC2

=2．
∵

AC

=

AD

，
∴AC=AD=2．
∵

AC

=

AD

，
∴∠ACD=∠APC．
∵∠KAC=∠CAP，
∴△APC∽△ACK．
∴

PC

CK

=

AP

AC

．
∴PC=

AP•CK

AC

．
同理可得：PD=

AP•KD

AD

．
∴PC+PD-CD
=

AP•CK

AC

+

AP•KD

AD

-CD
=

AP•CK

2

+

AP•KD

2

-2CO
=

AP•CD

2

-2

3

=

3

AP-2

3

=

3

（AG+PG）-2

3

=

3

（AC+PG）-2

3

=2

3

+

3

PG-2

3

=

3

PG．
∴

PC+PD-CD

PG

=

3 PG

PG

=

3

．
∴

PC+PD-CD

PG

的值为

3

．

点评：本题考查了圆弧与圆心角与弦的关系、圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，综合性非常强，难度比较大．而证到△EDF和△QDP都是等腰直角三角形，从而证到△EDQ≌△FDP，进而证到△EQF≌△FPS是解决第（2）小题的关键；利用相似三角形的性质得到PC=

AP•CK

AC

，PD=

AP•KD

AD

是解决第（3）小题的关键．