Question

19．如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8，以AB，BC，AC的中点A₁，B₁，C₁构成△A₁B₁C₁，以A₁B，BB₁，A₁B₁的中点A₂，B₂，C₂构成△A₂B₂C₂…依次操作，阴影部分面积之和将接近（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 先根据三角形面积公式得到Rt△ABC的面积，再根据三角形中位线定理得到△A₁B₁C₁的面积，△A₂B₂C₂的面积…，再根据等比数列求和公式可求阴影部分面积之和．

解答 解：∵Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC的面积为6×8÷2=24，
∵以AB，BC，AC的中点A₁，B₁，C₁构成△A₁B₁C₁，
∴△A₁B₁C₁的面积是24×$\frac{1}{4}$=6，
∵以A₁B，BB₁，A₁B₁的中点A₂，B₂，C₂构成△A₂B₂C₂，
∴△A₂B₂C₂的面积是24×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=1.5，
…，
∴阴影部分面积之和为$\frac{6-6×（\frac{1}{4}）^{n-1}×\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{6×（1-\frac{1}{4}）^{n}}{\frac{3}{4}}$≈8．
故选：C．

点评 此题考查了三角形中位线定理，三角形面积，等比数列求和公式，关键是得到后面的阴影部分面积是前面阴影部分面积的$\frac{1}{4}$．