Question

4．在△ABC中，AD是高，E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点P，过点A作AQ∥BC，交CP的延长线于点Q，BD：CD：AD=1：2：3．
（1）求$\frac{AP}{PB}$的值；
（2）若BD=5，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）设BD=x，根据题意用x表示出CD、AD、BC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）根据勾股定理求出CE，根据三角形中位线定理求出CQ，根据相似三角形的性质列式计算即可．

解答 解：（1）设BD=x，则CD=2x，AD=3x，BC=BD+CD=3x，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{CD}$=$\frac{AE}{DE}$=1，
∴AQ=CD=2x，
∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{2}{3}$；
（2）∵BD=5，BD：CD：AD=1：2：3，
∴CD=10，AD=15，
∵E是AD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=7.5，
由勾股定理得，CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴CQ=25，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{QP}{PC}$=$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CP=10．

点评 本题相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．