Question

9．如图，一架长2米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点．若∠POP′=15°，则AA′的长$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在Rt△AOB中，先求OB、OA的长，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可知：PA=PO，P′A′=P′O，由等边对等角得：∠AOP=∠PAO，∠OA′P′=∠A′OP′，由∠POP′=15°求得∠OA′P′=45°，根据三角函数求AA′=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．

解答 解：在Rt△AOB中，
∵∠AOB=90°，α=∠ABO=60°，
∴∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵P、P′分别是AB、A′B′的中点，
∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠AOP=∠PAO，∠OA′P′=∠A′OP′，
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=∠OA′P′-∠PAO，
∵∠POP′=15°
∴∠OA′P′-∠PAO=15°，
∵∠PAO=30°，
∴∠OA′P′=45°，
∴cos∠OA′P′=cos45°=$\frac{OA′}{A′B′}$，
∴OA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴AA′=OA-OA′=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．

点评 本题是勾股定理的应用，考查了勾股定理在实际问题中的应用，本题是梯形问题，要明确无论梯形如何移动，梯子的长不变．