Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交$\widehat{AC}$于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若直径AB=12cm，∠CAB=30°，
①当E是半径OA中点时，切线长DC=4$\sqrt{3}$cm：
②当AE=3cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接OC．理由的等角的余角相等证明即可；
（2）①求出PC的长，证明△DPC是等边三角形即可；
②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形；

解答 解：（1）连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PE⊥AB，
∴∠PEA=90°，
∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴DC=DP．

（2）①连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠A=30°，AB=12，
∵AC=AB•cos30°=6$\sqrt{3}$，
在Rt△APE中，∵AE=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴AP=AE÷cos30°=2$\sqrt{3}$，
∴PC=AC-AP=4$\sqrt{3}$，
∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，
∴△DPC是等边三角形，
∴DC=4$\sqrt{3}$，
故答案为4$\sqrt{3}$．

②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．
理由：连接AF、OF．
∵AE=EO，FE⊥OA，
∴FA=FO=OA，
∴△AFO是等边三角形，
∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，
∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，
∴△FOC是等边三角形，
∴CF=CO=OA=AF，
∴四边形AOCF是菱形，
∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．
故答案为3．

点评 本题考查切线的性质、菱形的判定、解直角三角形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是等边三角形的性质的应用．