Question

10．如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上．DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若HG²=HO•HA，且DE=7.2，则BC长为9.6．

Answer 1

分析 由点O是线段AG的中点，得到AO=OG，根据HG²=HO•HA，得到$\frac{AH}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，推出$\frac{2OH}{HG}$+1=$\frac{HG}{OH}$，设$\frac{OH}{HG}$=x，则2x+1=$\frac{1}{x}$，得到$\frac{OH}{HG}$=1，求得$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，根据平行线分线段成比例定理$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵点O是线段AG的中点，
∴AO=OG，
∵HG²=HO•HA，
∴$\frac{AH}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，即$\frac{2OH+HG}{HG}$=$\frac{HG}{OH}$，
∴$\frac{2OH}{HG}$+1=$\frac{HG}{OH}$，
设$\frac{OH}{HG}$=x，则2x+1=$\frac{1}{x}$，
解得：x=1（负值舍去），
∴$\frac{OH}{HG}$=1，
∴OH=HG，
∴$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AH}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∵DE=7.2，
∴BC=9.6．
故答案为：9.6．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理．