Question

2．已知a²+b²=1，对于满足条件x+y=1，xy≥0的一切实数对（x．y），不等式ay²-xy+bx²≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．

Answer 1

分析 利用特殊值法可得出a、b的范围，把y=1-x代入不等式，可整理成（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0，再利用二次函数的性质可得到关于a、b的不等式，可求得ab的最小值，结合条件a²+b²=1，可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值．

解答 解：
∵x+y=1，xy≥0，
∴0≤x≤1，0≤y≤1．
在（1）式中，令x=0，y=1，得a≥0；令x=1，y=0，得b≥0．
将y=1-x代入（1）式，得a（1-x）²-x（1+x）+bx²≥0，即（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0（2），
∵a²+b²=1，
∴1+a+b＞0，0＜$\frac{2a+1}{2（1+a+b）}$＜1，
∴二次函数y=（1+a+b）x²-（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．
∵不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，
∴△=（2a+1）²-4（1+a+b）-a≤0，即ab$≥\frac{1}{4}$．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+{b}^{2}=1\\ ab=\frac{1}{4}\end{array}\right.$（3），消去b，得16a⁴-16a²+1=0，解得${a}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$或a²=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∵a≥0，
∴a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$或a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴方程组（3）的解为$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ b=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\ b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{array}\right.$
∴满足条件的a，b的值有两组，分别为a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$和a=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，b=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，构造二次函数，根据二次函数的性质得到ab≥$\frac{1}{4}$，从而求得ab的最小值是解题的关键．本题综合性较强，涉及构造的思想，难度较大．