Question

14．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，BC=m，CD=n，对角线AC=a，则m，n，a满足的数量关系是m+n=$\sqrt{2}$a．

Answer 1

分析 如图，延长CB到M，使得BM=CD，连接AM．由△ABM≌△ADC，推出△MAC是等腰直角三角形，即可解决问题．

解答 解：如图，延长CB到M，使得BM=CD，连接AM．

∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，∵∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠ABM=∠D，
在△ABM和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=CD}\\{∠ABM=∠D}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADC，
∴AM=AC=a，∠BAM=∠CAD，
∴∠MAC=∠BAD=90°，
∴△MAC是等腰直角三角形，
∴MC=$\sqrt{2}$AM，
∴BM+BC=$\sqrt{2}$AC，
∴m+n=$\sqrt{2}$a．
故答案为m+n=$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查全等三角形 的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．