如图.抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c与x轴交于点A.交y轴于点B.直线y=kx+$\frac{3}{2}$过点A与y轴交于点C.与抛物线的另一个交点为D．(1)填空:b=-$\frac{3}{4}$.c=-$\frac{5}{2}$.k=$\frac{3}{4}$,(2)设点P是直线AD下方的抛物线上一动点.过点P作y轴的平行线.交直线AD于点M.作DE⊥y轴于点E.探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c与x轴交于点A（-2，0），交y轴于点B（0，-$\frac{5}{2}$），直线y=kx+$\frac{3}{2}$过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．
（1）填空：b=-$\frac{3}{4}$，c=-$\frac{5}{2}$，k=$\frac{3}{4}$；
（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不同于A、D两点），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E，探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

分析（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设P的坐标是（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$），则PM=（ $\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（ $\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，由EC=PM得到-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=6，解方程即可；
（3）通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知：由 $\frac{△PMN的周长}{△CEE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$ 构建二次函数即可解决问题．

解答解：（1）∵y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过点A（-2，0）和B（0，-$\frac{5}{2}$）
∴由此得 $\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$；
∵直线y=kx+$\frac{3}{2}$经过点A（-2，0）
∴-2k+$\frac{3}{2}$=0，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直线的解析式是 y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
故答案为-$\frac{3}{4}$、-$\frac{5}{2}$、$\frac{3}{4}$；

（2）可求D的坐标是（8，7 $\frac{1}{2}$），点C的坐标是（0，$\frac{3}{2}$），
∴CE=6，
设P的坐标是（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）
因为点P在直线AD的下方，
此时PM=（ $\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（ $\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，
即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=6
解这个方程得：x₁=2，x₂=4，
当x=2时，y=-3，
当x=4时，y=-$\frac{3}{2}$，
因此，直线AD下方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，
点P的坐标是（2，-3）和（4，-$\frac{3}{2}$）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10
∴△CDE的周长是24，
∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，
∴$\frac{△PMN的周长}{△CDE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$，即   $\frac{m}{24}$=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}{10}$，
化简整理得：m与x的函数关系式是：m=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$，
m=-$\frac{3}{5}$ （x-3）²+15，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，
∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．