Question

4．如图，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠D=60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值，

解答 解：取BC的中点G，连接AG．

∵AB=BG=2，∠ABG=∠D=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=GC=2，∠AGB=∠BAG=60°，
∴∠GAC=∠GCA=30°，
∴∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），
易知△BCF是等边三角形，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
∴BP+PQ的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选B．

点评 本题考查轴对称-最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．