Question

如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：连接DC，并延长交BA的延长线于点G，欲使封闭图形ACPDB的面积最大，因梯形ACDB的面积为定值，故只需△CPD的面积最小．而CD为定值，故只需使动点P到CD的距离最小．为此作半圆平行于CD的切线EF，设切点为P′，并分别交BD及BA的延长线于点F，E．连接OC，由△CGA∽△DGB即可求出GA=AO=AC=1，再根据当动点P取在P′的位置时，到CD的距离最小，进而可求出答案．

解答：解：如图，连接DC，并延长交BA的延长线于点G，欲使封闭图形ACPDB的面积最大，
因梯形ACDB的面积为定值，故只需△CPD的面积最小．
而CD为定值，故只需使动点P到CD的距离最小．
为此作半圆平行于CD的切线EF，设切点为P′，并分别交BD及BA的延长线于点F，E．
连接OC，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴△CGA∽△DGB，
∴

CA

DB

=

GA

GB

，
∴GA=AO=AC=1．
∴△ACO和△GAC是等腰直角三角形，
∴∠GCA=∠OCA=45°，
∴∠GCO=90°，
∴OC⊥GD．OC⊥EF，
∴切点P′就是OC与半圆的交点．
即当动点P取在P′的位置时，到CD的距离最小，而OC=

2

，
∴CP?=

2

-1，
∴S_△CP?D=

1

2

×2

2

×（

2

-1）=2-

2

，
∴封闭图形ACPDB的最大面积为：

1

2

×（1+3）×2-（2-

2

）=4-2+

2

=2+

2

．
故答案为：2+

2

．

点评：本题考查的是面积及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质解答．