Question

如图，在△ABC中，AP=QP=QB=BC，AB=AC．求∠A的度数．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：首先在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，然后设∠A=x，再利用等边对等角与三角形外角的性质，表示出各角，即可得∠BDC=∠C=（90-0.5x）°，又由等角对等边，可得BD=BC，即可得△BDQ为等边三角形，进而得出x的角度，即可得出答案．

解答：解：在AC上取点D，使QD=PQ，连接QD、BD，
设∠A=x°，
∵AP=QP，
∴∠AQP=∠A=x°，
∴∠QPD=∠A+∠AQP=2x°，
∵QD=QP，
∴∠QDP=∠QPD=2x°，
∴∠BQD=∠A+∠QDP=3x°，
∵DQ=QB，
∴∠QBD=

180°-∠BQD

2

=90°-1.5x°，
∴∠BDC=∠A+∠QBD=90°-0.5x°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=90°-0.5x°，
∴BD=BC，
∴BD=BQ=QD，
∴△BDQ为等边三角形，
∴∠QBD=90°-1.5x°=60°，
解得：x=20，
∴∠A=20°．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，得到△BDQ为等边三角形；注意数形结合思想与方程思想的应用．