Question

如图，⊙O沿凸n边形的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置，当⊙O和凸n边形的周长相等时，那么⊙O自身转动了（　　）圈．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：根据圆的运动方式不同分两种情况考虑：（i）当圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点时，根据圆自身转动的圈数=线段的长度÷圆的周长，由⊙O和凸n边形的周长相等，可得出⊙O自身恰好转动了一圈；（ii）当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角，根据多边形的外角和为360°，可得出⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈，综上，当⊙O和凸n边形的周长相等时，⊙O自身转动了2圈．

解答：解：根据运动方式不同，分两种情况考虑：
（i）当一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，
圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），
若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，可得⊙O自身恰好转动了一圈；
（ii）当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，
⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角，
∵凸n边形的外角和为360°
∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈，
综上，当⊙O和凸n边形的周长相等时，⊙O自身转动了2圈．
故选B．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了分类讨论的思想，审清题意，总结出圆O两种运动方式的规律是解本题的关键．