Question

3．如图，已知△ABC中，BC=10，BC边上的高AH=8，四边形DEFG为内接矩形．
（1）当矩形DEFG是正方形时，求正方形的边长．
（2）设EF=x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）GF∥BC得△AGF∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
（2）根据相似三角形的性质求出GF=10-$\frac{5}{4}$x，求出矩形的面积，运用二次函数性质解决问题．

解答 解：（1）设HK=y，则AK=AH-KH=AH-EF=8-y，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴AK：AH=GF：BC，
∵当矩形DEFG是正方形时，GF=KH=y，
∴8-y：8=y：10，
解得：y=$\frac{40}{9}$；
（2）设EF=x，则KH=x．
∴AK=AH-EF=8-x，
由（1）可知：$\frac{GF}{10}=\frac{8-x}{8}$，
解得：GF=10-$\frac{5}{4}$x，
∴s=GF•EF=（10-$\frac{5}{4}$x）x=-$\frac{5}{4}$（x-4）²+20，
∴当x=4时S有最大值，并求出最大值20．

点评 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的最值，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．