Question

4．已知$\frac{x}{y+z+u}$=$\frac{y}{z+u+x}$=$\frac{z}{u+x+y}$=$\frac{u}{x+y+z}$，求$\frac{x+y}{z+u}$+$\frac{y+z}{u+x}$+$\frac{z+u}{x+y}$+$\frac{u+x}{y+z}$的值．

Answer 1

分析 设$\frac{x}{y+z+u}$=$\frac{y}{z+u+x}$=$\frac{z}{u+x+y}$=$\frac{u}{x+y+z}$=$\frac{1}{t}$，可得y+z+u=tx，z+u+x=ty，u+x+y=tz，x+y+z=tu，四式相加得：3（x+y+z+u）=t（x+y+z+u），分两种情况当x+y+z+u=0时，当x+y+z+u≠0时，t=3时分别求解即可．

解答 解：设$\frac{x}{y+z+u}$=$\frac{y}{z+u+x}$=$\frac{z}{u+x+y}$=$\frac{u}{x+y+z}$=$\frac{1}{t}$，
∴y+z+u=tx，z+u+x=ty，u+x+y=tz，x+y+z=tu，
四式相加得：3（x+y+z+u）=t（x+y+z+u），
当x+y+z+u=0时，$\frac{x+y}{z+u}$+$\frac{y+z}{u+x}$+$\frac{z+u}{x+y}$+$\frac{u+x}{y+z}$=$\frac{-（z+u）}{z+u}$+$\frac{-（u+x）}{u+x}$+$\frac{-（x+y）}{x+y}$+$\frac{-（y+z）}{y+z}$=-4，
当x+y+z+u≠0时，t=3，
∴y+z+u=3x，z+u+x=3y，u+x+y=3z，x+y+z=3u，
前两个式子相减得y-x=3（x-y），得x=y，
同理可得y=z，z=u，u=x，
∴x=y=z=u，
∴$\frac{x+y}{z+u}$+$\frac{y+z}{u+x}$+$\frac{z+u}{x+y}$+$\frac{u+x}{y+z}$=4，
综上所述：$\frac{x+y}{z+u}$+$\frac{y+z}{u+x}$+$\frac{z+u}{x+y}$+$\frac{u+x}{y+z}$=4或-4．

点评 本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是设$\frac{x}{y+z+u}$=$\frac{y}{z+u+x}$=$\frac{z}{u+x+y}$=$\frac{u}{x+y+z}$=$\frac{1}{t}$，分两种情况求解．