Question

12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=m，CD=n，E、F分别是AB、CD的中点，AF、ED相交于点G，BF、CE相交于点H，则GH=$\frac{mn}{m+n}$．

Answer 1

分析 先由AB∥CD，得到△DFG和△EAG、△CFH△和△EBH的相似关系，从而得到FG和GA、FH和HB间的比例关系，进而得到△GFH和△AFB间关系，利用比例表示出GH的长．

解答 解：∵AB=m，CD=n，E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF=FC=$\frac{1}{2}$n，AE=BE=$\frac{1}{2}$m．
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△EAG，△CFH∽△EBH，
∴$\frac{FG}{GA}=\frac{DF}{AE}=\frac{n}{m}$，$\frac{FH}{HB}=\frac{FC}{EB}=\frac{n}{m}$．
∴$\frac{FG}{GA}=\frac{FH}{HB}=\frac{n}{m}，\frac{FG}{AF}=\frac{FH}{FB}=\frac{n}{m+n}$，
又∵∠GFH=∠AFB，
∴△GFH∽△AFB，
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{FG}{FA}$∴$\frac{GH}{m}=\frac{n}{m+n}$，∴$GH=\frac{mn}{m+n}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，利用了比例的性质．定理“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”，用的较少．容易想不到．