Question

11．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．求证下列结论：
①FB=AB；  
②CF⊥EF，FC=EF．

Answer 1

分析 （1）根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM，利用全等三角形的性质得出结论；
（2）利用（1）中△ABM≌△FBM可得∠BAM=∠BFM，求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC，利用全等三角形的性质即可得出结论．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD，BE⊥PD，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
在△ABE与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠EBA=∠ADP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM与△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF；

（2）∵△ABM≌△FBM，
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF与△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBF=∠FDC}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴CF=EF且CF⊥EF．

点评 本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．