Question

16．如图1，在等腰Rt△ABC中，M为斜边AB的中点，D是线段AM上的动点，以CD为边作∠CDE=90°，且DE=DC．
（1）若AC=2，求MC的长；
（2）当E在AB的右侧时，如图1，作EF⊥AB于F，求证：AC=$\sqrt{2}$DF；
（3）当E在AB左侧时，连接AE，如图2．
①求证：AE∥BC；
②若AD=$\sqrt{3}$，求BC-AE的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得出CM=$\sqrt{2}$，再利用同角的余角相等得出∠DCM=∠EDF，进而判断出△CDM≌△DEF即可得出结论；
（2）同（1）方法即可得出结论；
（3）①过点E作EN⊥AB交BA延长线于N，进而判断出△NDE≌△MCD，再用等式的性质得出EN=AN，得出∠NAE=45°即可判断出∠EAC=90°即可；
②用①的结论代入转化即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
连接CM，在等腰直角三角形ABC中，AC=2，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
∵M是等腰直角三角形ABC的斜边的中点，
∴CM⊥AB，
∴∠CMD=90°，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∵∠CDM+∠EDF=90°，
∴∠DCM=∠EDF，
在△CDM和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠DFE}\\{∠MCD=∠FDE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DEF，
∴DF=CM=$\sqrt{2}$；
（2）如图1，连接CM，
在等腰直角三角形ABC中，
∴AB=$\sqrt{2}$AC，
∵点斜边AB的 中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∵M是等腰直角三角形ABC的斜边的中点，
∴CM⊥AB，
∴∠CMD=90°，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∵∠CDM+∠EDF=90°，
∴∠DCM=∠EDF，
在△CDM和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠DFE}\\{∠MCD=∠FDE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DEF，
∴DF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC；
∴AC=$\sqrt{2}$DF，
（3）①如图2，连接CM，延长BA，过点E作EN⊥AB，
∵∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠CDM=90°，
由（1）知，∠CMD=90°，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADE=∠DCM，
在△NDE和△MCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠CMD=90°}\\{∠ADE=∠DCM}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MCD，
∴EN=DM，DN=CM，
∵CM=AM=AD+DM，DN=AD+AN，
∴DM=AN，
∴EN=AN，
∵∠ANE=90°，
∴∠NAE=45°，
∴∠EAC=180°-∠NAE-∠BAC=90°=∠ACB，
∴AE∥BC，
②如图2，由①知，AN=EN，∠ANE=90°，
∴AE=$\sqrt{2}$AN，
∵AN=DM，
∴AE=$\sqrt{2}$DM，
由（1）知，BC=$\sqrt{2}$CM=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（AD+DM）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+DM）=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$DM，
∴BC-AE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$DM-$\sqrt{2}$DM=$\sqrt{6}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，等式的性质，解本题的关键是判断出△CDM≌△DEF，难点是构造出△NDE≌△MCD是一道中等难度的中考常考题．