Question

8．如图已知一次函数y=-2x+6图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象果A、C两点，并且与x轴交于另一点B（B在负半轴上）．当S_△ABC=4S_△BOC时，求抛物线y=ax²+bx+c的解析式和此函数顶点坐标．

Answer 1

分析 根据一次函数求与x轴交点A的坐标及与y轴交点C的坐标，由S_△ABC=4S_△BOC，且两三角形是同高三角形，代入等式可得：AB=4OB，得出点B的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式，配方后可求顶点坐标．

解答 解：当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
当y=0时，-2x+6=0，
x=3，
∴A（3，0），
∴OC=6，OA=3，
∵S_△ABC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$AB•OC=4×$\frac{1}{2}$×OB×OC，
AB=4OB，
∴OB=1，
∴B（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，6）代入得：6=a（0+1）（0-3），
a=-2，
∴抛物线的解析式为：y=-2（x+1）（x-3）=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴顶点坐标为（1，8）．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及图象与两坐标轴的交点，令x=0时，可求得与y轴的交点；令y=0时，可求得与x轴的交点坐标；本题利用面积的等量关系求抛物线上一个点的坐标，从而使问题得以解决．