Question

4．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的函数关系式
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标．
（3）求△AOB的面积．
（4）求不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集（请直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）根据点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值，进而可得出反比例函数的函数关系式，再由点A在反比例函数图象上可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的函数关系式；
（2）将y=0代入一次函数的函数关系式中求出x值，由此即可得出点C的坐标；
（3）根据点A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（4）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集，此题得解．

解答 解：（1）∵点B（2，-4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数的函数关系式为y=-$\frac{8}{x}$；
∵点A（-4，n）在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$的图象上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴点A（-4，2）．
将A（-4，2）、B（2，-4）代入y=kx+b中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2=-4k+b}\\{-4=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的函数关系式为y=-x-2．
（2）当y=0时，有-x-2=0，
解得：x=-2，
∴直线AB与x轴的交点C的坐标为（-2，0）．
（3）∵A（-4，2）、B（2，-4）、C（-2，0），
∴OC=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×2×[2-（-4）]=6．
（4）观察函数图象可知：当-4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集为-4＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．