Question

6．在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点A与点C关于y轴对称，点E是线段AC上的点（点E不与点A、C重合）
（1）若点A的坐标为（a，0），则点C的坐标为（-a，0）；
（2）如图1，点F是线段AB上的点，若∠BEF=∠BAO，∠BAO=2∠OBE，求证：AF=CE；
（3）如图2，若点D为AC上一点，连接ED，满足BE=BD，试探究∠ABE与∠DEC的关系．

Answer 1

分析 （1）利用对称性直接写成点C的坐标；
（2）根据三角形的内角和，等腰三角形的性质先判断出，∠ABE=∠BFE，进而得出BE=EF，在判断出，∠CBE=∠AEF，进而判定，△AEF≌△CBE，即可得出结论；
（3）设∠OBE=α，∠CBE=β，用三角形的内角和表示出∠ABE=2α+β，利用等腰三角形的性质表示出∠DEC=$\frac{1}{2}$（2α+β），即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（a，0）与点C关于y轴对称，
∴C（-a，0），
故答案为（-a，0）．，
（2）设∠OBE=α，
∴∠BAO=2∠OBE=2α，∠BEF=∠BAO=α，
由对称得，OA=OC，
∵BO⊥AC，
∴AB=CB，
∴∠BAO=∠BCO=2α，
∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=90°-α，
在△BEF中，∠BFE=180°-（∠BEF+∠EBF）=90°-α，
∴∠ABE=∠BFE，
∴BE=EF，
在Rt△AOB中，∠ABO=90°-2α，
∴∠ACB=2α，∠CBO=∠90°-2α，
∵∠OBE=α，
∴∠CBE=90°-3α，
在△BCE中，根据三角形的内角和得，∠BEC=90°+α，
∴∠AEF=180°-∠BEF-∠BEC=90°-3α，
∴∠CBE=∠AEF，
在△AEF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠CEB}\\{∠AEF=∠CBE}\\{EF=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CBE，
∴AF=CE，
（3）设∠OBE=α，∠CBE=β，
∴∠CBO=α+β，由（1）知，∠ABO=∠CBO=α+β，
∴∠ABE=∠ABO+∠OBE=α+β+α=2α+β，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°-α，
在△BDE中，BD=BE，
∴∠BED=90°-$\frac{1}{2}$β，
∴∠DEC=180°-∠OEB-∠BED=$\frac{1}{2}$（2α+β），
∵∠ABE=2α+β，
∴∠ABE=2∠DEC．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解本题的关键是BE=EF，是一道计算证明题，角度的转化比较多，易出现错误．