Question

13．△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O与AB交于D，切线DE⊥AC于E，求证：AE=$\frac{1}{3}$CE．

Answer 1

分析 由DE是⊙O的切线和BC为⊙O直径的，证明△ABC是等边三角形，然后根据直角三角形的性质证得结论．

解答 解：∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC+∠EDC=∠ODC+∠CDE=90°，
∴∠ODC=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵BC为⊙O直径的，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△AED中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$AC，CE=AC-AE=$\frac{3}{4}$AC，
∴$\frac{CE}{AE}$=3，
∴AE=$\frac{1}{3}$CE．

点评 本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，证明△ABC是等边三角形是解题的关键．