Question

9．如图，正方形ABCD的边长为9，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{5}$
• D． 6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连结AC，如图，由正方形的性质得∠ACB=45°，再由折叠的性质得∠ECB=∠ECF，接着根据切线长定理得到AC平分∠ECF，则∠ECF=2∠ECA，所以∠ECB=2∠ECA，则利用∠ECB+∠ECA=45°可计算出∠ECB=30°，然后在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CE．

解答 解：连结AC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ACB=45°，
∵△BCE沿CE折叠至△FCE，
∴∠ECB=∠ECF，
∵CF，CE与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，
∴AC平分∠ECF，
∴∠ECF=2∠ECA，
∴∠ECB=2∠ECA，
而∠ECB+∠ECA=45°，
∴∠ECB=30°，
在Rt△BEC，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=3$\sqrt{3}$，
∴CE=2BE=6$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了切线长定理．