Question

5．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′位置，AB′与CD交于点E，且AB=8，AD=4．
（1）求证：AE=EC；
（2）求EC的长；
（3）点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．求PG+PH的值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由翻折变换的性质可知：∠EAC=∠BAC，由平行线的性质可知∠ECA=∠BAC，故∠EAC=∠ECA，从而得到EA=EC；
（2）设EA=EC=x，DE=8-x，然后在Rt△DEA中，由勾股定理列方程求解即可；
（3）根据S_△AEP+S_△ECP=S_△ECA求解即可．

解答 解：（1）由翻折变换的性质可知：∠EAC=∠BAC，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC．
∴∠EAC=∠ECA．
∴EA=EC．
（2）设EA=EC=x，DE=8-x；
在Rt△DEA中，由勾股定理得：AE²=AD²+DE²，即x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5．
∴EC=5．
（3）如图所示；连接EP．

∵PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，
∴${S}_{△AEP}=\frac{1}{2}AE•GP$，${S}_{△ECP}=\frac{1}{2}EC•PH$．
∵S_△AEP+S_△ECP=S_△ECA，
∴$\frac{1}{2}AE•GP+\frac{1}{2}EC•PH$=$\frac{1}{2}EC•AD$，即$\frac{1}{2}×5×PG+\frac{1}{2}×5×PH$=$\frac{1}{2}×5×4$．
∴PG+PH=4．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等腰三角形的判定，利用面积求得PG+PH=4是解题的关键．