Question

20．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q以每秒$\frac{15}{4}$厘米的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

Answer 1

分析 （1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等；
（2）根据题意得出方程，求出t，根据路程求出即可．

解答 解：（1）全等，
理由是：∵t=1秒，
∴BP=CQ=3×1=3厘米，
∵AB=5厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4厘米．
又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，
∴PC=8-3=5厘米，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=PC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）设经过t秒P、Q相遇，
则3t+20=$\frac{15}{4}$t，
解得：t=$\frac{80}{3}$，
3×$\frac{80}{3}$=80，
∵AB=AC=10厘米，BC=8厘米，
∴P、Q在AB上相遇．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程的应用，能求出△BPD≌△CQP是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．