Question

1．如图，在Rt△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，将△CDE沿直线DE翻折，点C恰好落在斜边AB的中点M处．
（1）求证：DE垂直平分CM；
（2）△CDE与△CBA相似吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用折叠的性质得点C和点M关于DE对称，然后根据对称的性质即可判断DE垂直平分CM；
（2）设CM交DE于点O，如图，先根据直角三角形斜边上的中线性质得MC=MB=MA，则∠B=∠MCB，再根据等角的余角相等得到∠CDO=∠OCE，所以∠CDO=∠B，然后根据相似三角形的判定方法可判断△CDE∽△CBA．

解答 （1）证明：∵△CDE沿直线DE翻折，点C恰好落在斜边AB的中点M处，
∴点C和点M关于DE对称，
∴DE垂直平分CM；
（2）△CDE∽△CBA．理由如下：
设CM交DE于点O，如图，
∵点M为斜边AB的中点，
∴MC=MB=MA，
∴∠B=∠MCB，
∵OC⊥DE，
∴∠COD=90°，
∴∠OCD+∠CDO=90°，
而∠OCD+∠OCE=90°，
∴∠CDO=∠OCE，
∴∠CDO=∠B，
而∠DCE=∠BCA，
∴△CDE∽△CBA．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了折叠的性质．