Question

如图，A、B、D在一条直线上，△ABC与△BDE都是等边三角形，F、G、P、Q分别是AC、AD、DE、CE的中点，试判定四边形FGPQ是怎样的特殊四边形？

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：连接AE、CD，可证明△ABE≌△CBD，可得AE=CD，再由条件可证明FG=PQ=FQ=PG，可证明四边形FGPQ是菱形．

解答：解：四边形FGPQ为菱形，证明如下：
如图，连接AE、CD，
∵△ABC和△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，

AB=BC ∠ABE=∠CBD BE=BD

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，
∵F、G为AD、AC的中点，
∴FG为△ADC的中位线，
∴FG=

1

2

CD，同理可得PQ=

1

2

CD，
∴FG=PQ，
同理可得FQ=PG=

1

2

AE，
∴FG=GP=PQ=QF，
∴四边形FGPQ为菱形．

点评：本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键，即①四边相等的四边形?菱形，②对角线互相垂直的平行四边形?菱形，③一组邻边相等的平行四边形?菱形．