Question

13．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边以1cm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm、s的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运功．设运动时间为t秒：
（1）如图1，几秒后，△DPQ的面积等于21cm²？
（2）在运动过程中，若以P为圆心的⊙P同时与直线AD、BD相切（如图2），求t值；
（3）若以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在t值，使得点D落在⊙Q上？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点，则t的取值范围为0＜t＜4．（直接写出结果，不需说理）

Answer 1

分析 （1）由题意可知PA=t，BQ=2t，从而得到PB=6-t，BQ=2t，QC=8-2t，然后依据△DPQ的面积等于21cm²列方程求解即可；
（2）如图1所示：连结PE．依据勾股定理可求得BD的长，然后依据切线长定理可知DE=AD=8，从而可求得BE的长，由圆的半径相等可知PE=AP=t，然后再Rt△PEB中依据勾股定理列方程求解即可；
（3）①如图2所示：先用含t的式子表示出BP、BQ、CQ的长，然后依据DC²+CQ²=PB²+QB²列出关于t的方程，从而可求得t的值；②当t=0时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，由①可知当t=4时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点，从而可确定出t的取值范围．

解答 解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，BQ=2t，CQ=8-2t．
∵△DPQ的面积等于21cm²，
∴6×8-$\frac{1}{2}$×8×t-$\frac{1}{2}$（6-t）•2t-$\frac{1}{2}$×6×（8-2t）=21．
整理得：t²-4t+3=0，解得t=1或t=3．
答：当t为1秒或3秒时，△DPQ的面积等于21cm²．

（2）如图1所示：连结PE．

∵⊙P分别与AD、BD相切，
∴PE⊥BD，AD=DE=8．
在Rt△ABD中，依据勾股定理可知BD=10．
∴BE=BD-DE=2．
∵AP=PE，
∴PE=t，PB=6-t．
在Rt△PEB中，依据勾股定理可知：（6-t）²=t²+2²，解得：t=$\frac{8}{3}$．

（3）①如图2所示：

∵PA=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，CQ=8-2t．
∵点D在⊙Q上，
∴QD=PQ．
∴DC²+CQ²=PB²+QB²，即6²+（8-2t）²=（2t）²+（6-t）²．
整理得：t²+20t-64=0．解得t=4或t=16（舍去）．
所以当t=4时，点D落在⊙Q上．
②（Ⅰ）当t=0时，如图3所示：

⊙Q与四边形DPQC有两个公共点；
（Ⅱ）如图4所示：当圆Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个公共点．

由①可知此时t=4．
∴当0＜t＜4时，⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点．
故答案为：0＜t＜4．

点评 本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键．