Question

如图，在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠C=120°，⊙C交AB于D、E两点，且AD=DE．
（1）求⊙C的半径；
（2）联结CE，求tan∠ECB的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）首先过点O作CH⊥DE、垂足为H，连结CD，进而利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AH的长，进而求出DH，AD的长，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠ECB=∠BCH-∠ECH=60°-30°=30°，进而得出答案．

解答：解：（1）过点O作CH⊥DE、垂足为H，连结CD，
∵AC=BC=6，CH⊥AB，
∴∠BCH=∠ACH=

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
在Rt△ACH中，
∠AHC=90°，cos∠ACH=

CH

AC

，
则CH=AC•cos60°=6×

1

2

=3，
故AH=

AC2-CH2

=

36-9

=3

3

，
∵CH过圆心、CH⊥DE，
∴DH=

1

2

DE，
∵DE=AD，
∴EH=DH=

1

2

AD，
∴DH=

3

，AD=2

3

，
∴CD=

CH2+DH2

=

9+3

=2

3

；

（2）在Rt△CHE中、∠CHE=90°，
故tan∠ECH=

HE

CH

=

3

3

，
则∠ECH=30°，
∵∠BCH=60°，
∴∠ECB=∠BCH-∠ECH=60°-30°=30°，
∴tan∠ECB=tan30°=

3

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系和垂径定理等知识，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．