Question

如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，AE与CD相交于点F，若S_△ABC=6，则四边形BEFD的面积为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形的面积

专题：

分析：先由AD=2BD，S_△ABC=6，得出S_△ADC=

2

3

S_△ABC=4，S_△BDC=

1

3

S_△ABC=2．过E作EG∥AB交CD于G，根据三角形中位线定理得出CG=DG，则BD=2EG，AD=4EG．
设S_△EGF=x．由EG∥BD，得出△CEG∽△CBD，根据相似三角形的性质得到S_△CEG=

1

4

S_△CBD=

1

2

，S_梯形EGDB=2-

1

2

=

3

2

，设S_△FEG=x，则S_{四边形BEFD}=

3

2

-x，S_△ADF=S_△ABE-S_{四边形BEFD}=

3

2

+x．由EG∥AD，得出△FEG∽△FAD，根据相似三角形的性质得到

S△FEG

S△FAD

=（

EG

AD

）²=

1

16

，S_△FAD=16x，根据△FAD的面积不变列出方程16x=

3

2

+x，解方程即可．

解答：解：∵AD=2BD，S_△ABC=6，
∴S_△ADC=

2

3

S_△ABC=4，S_△BDC=

1

3

S_△ABC=2．
过E作EG∥AB交CD于G，
∵BE=CE，
∴CG=DG，
∴BD=2EG，
∵AD=2BD，
∴AD=4EG．
设S_△EGF=x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴

S△CEG

S△CBD

=（

CE

BC

）²=

1

4

，
∴S_△CEG=

1

4

S_△CBD=

1

4

×2=

1

2

，S_梯形EGDB=2-

1

2

=

3

2

，
设S_△FEG=x，则S_{四边形BEFD}=

3

2

-x，
∵S_△ABE=

1

2

S_△ABC=3，
∴S_△ADF=S_△ABE-S_{四边形BEFD}=3-（

3

2

-x）=

3

2

+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴

S△FEG

S△FAD

=（

EG

AD

）²=

1

16

，
∴S_△FAD=16S_△FEG=16x，
∴16x=

3

2

+x，
解得x=

1

10

，
∴S_{四边形BEFD}=

3

2

-x=

3

2

-

1

10

=

7

5

．
故答案为

7

5

．

点评：本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．