Question

9．将抛物线y=4x²向下平移k单位，k＞0时，抛物线与x轴有两个交点A、B，此时顶点是C，已知S_△ABC=4，求k的值．

Answer 1

分析 根据抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式．设点A（x₁，0），B（x₂，0），利用根与系数的关系求得AB的距离，由顶点公式求得点C的纵坐标，利用三角形的面积公式，即能求得k值．

解答 解：抛物线y=4x²向下平移k单位后的解析式为：y=4x²-k．
设点A（x₁，0），B（x₂，0），
∵根与系数的关系得：
x₁+x₂=0，x₁x₂=-$\frac{k}{4}$．
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{k}$，
又∵顶点C的纵坐标=-k，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•|k|=4，即$\frac{1}{2}$$\sqrt{k}$•|k|=4，
解得k=4．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．涉及到了二次函数图象的几何变换，根与系数的关系以及三角形的面积，是一道综合性很好的目题．