题目内容
17．某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：| 销售单价x（元∕件） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 每天销售量y（件） | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐a（a＜4）元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x的增大而增大，求a的取值范围．
分析 （1）描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）利润=销售总价-成本总价=单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值；
（3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x-20-a）元，再根据总利润=销售总价-成本总价建立函数关系式即可
解答 解：（1）画图如图；
由图可猜想y与x是一次函数
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）
（40，400）这两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=30k+b}\\{400=40k+b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$
∴函数关系式是：y=-10x+800（0≤x≤80）
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x2+1000x-16000
=-10（x-50）2+9000
∴当x=50时，W有最大值9000．
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
（3）设总利润为M元，则每件工艺用品的利润为（x-20-a）元，由题意，得
M=（-10x+800）（x-20-a），
=-10x2+10（100-a）x-16000-800a，
=-10（x-50-$\frac{1}{2}$a）2+$\frac{5}{2}$（100+a）2-16000-800a，
∵a=-10＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧M随x的增大而增大．
∴x=50+$\frac{1}{2}$a时，M有最大值．
∵日销售利润M随销售单价x的增大而增大，且x≤51，
∴50+$\frac{1}{2}$a≥51，
∴a≥2．
∵a＜4，
∴2≤a＜4．
点评 本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，不等式的解法和运用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键．
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| A． | 1-3c-4b | B． | -1-3c+4b | C． | 1+3c-4b | D． | -1-3c-4b |