Question

13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O．
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD：BC=2：3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当k=1时，是平行四边形；
②当k=2时，是直角梯形；
③当k=3时，是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）①四边形ABPE是平行四边形，只要证明AE=BP即可．
②四边形ABPE是直角梯形，只要证明∠BPE=90°即可．
③四边形ABPE是等腰梯形，只要证明AB=PE即可．

解答 （1）证明：∵AE∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，∠DEO=∠OFB，
∴△BOP∽△DOE．

（2）解：①如图1中，

∵AE=ED，k=1，
∴AE=ED=BP，
∵AE∥PB，
∴四边形ABPE是平行四边形．
故答案为平行四边形．

②如图2中，

∵AE=DE，k=2，
∴PB=2ED=2AE，
∵AD：BC=2：3，
∴PC=DE，∵DE∥PC，
∴四边形CDEP是平行四边形，∵∠C=90°，
∴四边形CEEP是矩形，
∴∠EPB=∠EPC=90°，∵AE∥PB，AE≠PB，
∴四边形ABPE是直角梯形．
故答案为直角梯形．

③如图③中，作BM⊥AD于M．

∵AE=DE，AD：BC=2：3，k=3，
∴PB=3DE，
∵BC=3DE，
∴点P与C重合，
∵∠M=∠BCD=∠BDM=90°，
∴四边形BCDM是矩形，
∴BM=DC，DM=BC，∵BC=3DE，AE=DE，
∴AM=DE，∵∠M=∠CDE=90°，
∴△ABM≌△ECD，
∴AB=EC，
∴四边形ABPE是等腰梯形．
故答案为等腰梯形．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、直角梯形的判定．等腰梯形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．