Question

5．已知二次函数的图象经过点（0，$\frac{5}{2}$）且当x=3时，有最小值-2；
（1）求二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的顶点式，然后将（0，$\frac{5}{2}$）和（3，-2）代入即可求出抛物线的解析式．
（2）求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为（3，-2）
设抛物线的解析式为：y=a（x-3）²-2
把（0，$\frac{5}{2}$）代入上式，
∴解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-2=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$
（2）令x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$，
解得：y=$\frac{5}{2}$，
令y=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$，
∴解得：x=1或5
∴抛物线与坐标轴的交点坐标为：（1，0）、（5，0）、（0，$\frac{5}{2}$）
∴二次函数的图象与两坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为：$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{2}$=5

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是利用顶点式求出抛物线的解析式，然后利用三角形面积即可求出答案．本题属于中等题型．