Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E
（1）当直线MN经过点C，如图①的位置时，①试说明△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE
（2）当直线MN经过点C，如图②的位置时，请写出DE，AD，BE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据AAS证明△ADC≌△CEB；
②由全等得：AD=CE，DC=EB，代入DE=DC+CE即可；
（2）DE=AD-BE，理由是：同理得△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，代入DE=CE-CD得结论．

解答 解：（1）如图1，①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=EB，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
（2）如图2，DE=AD-BE，理由是：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAD}\\{∠ADC=∠CEB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．