Question

8．如图，已知A、B两点的坐标分别为A（0，2$\sqrt{3}$）B（-2，0），直线AB与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点C和点D（1，a）
（1）求直线AB和反比例函数的函数关系式；
（2）求∠ACO的度数；
（3）将△OBC绕点O顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△OB₁C₁，当α为多少度时OC₁⊥AB，并求此时线段AB₁的长．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出a的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；
（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数．
（3）过点B₁作B₁G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC₁=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB₁=α=60°，解直角三角形求得B₁的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB₁的长．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，2$\sqrt{3}$），B（-2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2\sqrt{3}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
故直线AB解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
将D（1，a）代入直线AB解析式得：a=3$\sqrt{3}$，
则D（1，3$\sqrt{3}$），
将D坐标代入y=$\frac{m}{x}$中，得：m=3$\sqrt{3}$，
则反比例解析式为y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$；

（2）联立两函数解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{y}_{1}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则C坐标为（-3，-$\sqrt{3}$），
过点C作CH⊥x轴于点H，
在Rt△OHC中，CH=$\sqrt{3}$，OH=3，
tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∠COH=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∠ABO=60°，
∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；

（3）过点B₁作B₁G⊥x轴于点G，
∵∠ABO=60°，∠COH=30°，
∴∠OCB=30°，
∵OC₁⊥AB，
∴∠COC₁=60°，
∴α=60°．
∴∠BOB₁=60°，
∵OB₁=OB=2，
∴OG=1，B₁G=$\sqrt{3}$，
∴B₁（-1，$\sqrt{3}$），
∴AB₁=$\sqrt{（-1）^{1}+（2\sqrt{3}-\sqrt{3}）^{2}}$=2．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．