Question

5．（1）计算一组数据1，2，3，4，5的方差是2
（2）将上述数据都加上10，得到另一组数据11，12，13，14，15．请你求这组数据的方差，你发现了什么？
（3）若将第一组数据都乘以3，得到3，6，9，12，15．请你继续求这组数据的方差，你又发现了什么？
（4）若将第一组数据先乘以a，再加上b，得到数据：a+b，2a+b，3a+b，4a+b，5a+b，想一想，这一组数据的方差是多少，请你直接写出你猜想的结果．

Answer 1

分析 （1）先算出这组数据的平均数，再根据方差公式即可得出答案；
（2）根据如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，从而得出答案；
（3）根据每个数据都放大或缩小相同的倍数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍，从而得出答案；
（4）设出原来数据的平均数和方差，根据平均数和方差的公式性质求解．

解答 解：（1）这组数据的平均数是：（1+2+3+4+5）÷5=3，
则方差是：$\frac{1}{5}$[（1-3）²+（2-3）²+（3-3）²+（4-3）²+（5-3）²]=2；
故答案为：2；

（2）由方差的计算公式S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，故方差不变，仍是2；．

（3）设原数据为：x₁，x₂，…，x_n；其平均数为$\overline{x}$；
每个数据都乘以3，得新数据为：3x₁，3x₂，…，3x_n；其平均数为3$\overline{x}$，
∵$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，
∴$\frac{1}{n}$[（3x₁-3$\overline{x}$）²+（3x₂-3$\overline{x}$）²+…+（3x_n-3$\overline{x}$）²]=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]×9=2×9=18；

（4）设这组数据为x₁，x₂，…x_n，平均数为$\overline{x}$，其方差为S₁²，
将这组数据中的每个数据都乘以a后再加上b，平均数变为a$\overline{x}$+b，
则得到的一组新数据的方差为S₂²=$\frac{1}{n}$[（ax₁-a$\overline{x}$）²+（ax₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-a$\overline{x}$）²]=2a²；

点评 本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，x₁，x₂，…x_n，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．