已知.矩形ABCD中.AB=4cm.BC=8cm.AC的垂直平分线EF分别交AD.BC于点E.F.垂足为O．.连接AF.CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形?说明理由, ②求AF的长,.动点P.Q分别从A.C两点同时出发.沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止.点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中.已知点P的速度为每秒5cm.点Q的速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图（1），连接AF、CE．
①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；
②求AF的长；
（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

分析（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
②根据勾股定理即可求AF的长；
（2）分情况讨论可知，P点在BF上；Q点在ED上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF（AAS）．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理，得
16+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5．
2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒．