Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ= MN时，求菱形对角线MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OB=OC=6，

∴B（6，0），C（0，﹣6），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣2x﹣6，

∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，

∴点D的坐标为（2，﹣8）；

（2）

解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2﹣2x﹣6），则FG=| x2﹣2x﹣6|，

在y= x2﹣2x﹣6中，令y=0可得 x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，

∴A（﹣2，0），

∴OA=2，则AG=x+2，

∵B（6，0），D（2，﹣8），

∴BE=6﹣2=4，DE=8，

当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，

∴△FAG∽△BDE，

∴ = ，即 = = ，

当点F在x轴上方时，则有 = ，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7， ）；

当点F在x轴上方时，则有 =﹣ ，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣ ）；

综上可知F点的坐标为（7， ）或（5，﹣ ）；

（3）

解：∵点P在x轴上，

∴由菱形的对称性可知P（2，0），

如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，

∵PQ= MN，

∴MT=2PT，

设PT=n，则MT=2n，

∴M（2+2n，n），

∵M在抛物线上，

∴n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= ，

∴MN=2MT=4n= +1；

当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），

∴﹣n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= （舍去），

∴MN=2MT=4n= ﹣1；

综上可知菱形对角线MN的长为 +1或 ﹣1．

【解析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)．