Question

【题目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为： ．

（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为： ．

（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2 ，CD= BC，请求出DG的长（写出求解过程）．

Answer 1

【答案】
（1）BC⊥CF；CF=BC-CD
（2）BC⊥CF；CF=CD﹣BC
（3）

解：由题意得：∠BAC=∠FAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠FCB=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，

∴CF⊥BC，

在Rt△ABC中，AC=AB=2 ，

在Rt△AGC中，∵∠ACF=45°，

∴CG= AC= ×2 =4，

同理BC=4，

CD= BC= ×4=1，

∴在Rt△DCG中，DG= = = ．

【解析】（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中， ，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=45°，∴∠ACF+∠ACB=90°，∴∠BCF=90°，∴BC⊥CF，所以答案是：BC⊥CF；②由①△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD=BC﹣CD，∴CF=BC﹣CD，所以答案是：CF=BC﹣CD；
⑵解：①成立，②不成立；理由如下：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，∠DAF=∠BAF+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中， ，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠ACB+∠FCB=135°，∴∠FCB=90°，∴BC⊥CF，所以答案是：BC⊥CF；②由①△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∵BD=CD﹣BC，∴CF=CD﹣BC，所以答案是：CF=CD﹣BC；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用垂线的性质和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握垂线的性质：1、过一点有且只有一条直线与己知直线垂直．2、垂线段最短；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．