Question

△ABC中，AB=AC，D为BC中点，且BE⊥AC于E，交AD于P，BP=3，PE=1，求PA．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：先由等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，则∠BEC=∠BDP=90°，又∠EBC=∠DBP，那么△BEC∽△BDP，根据相似三角形对应边成比例得

BC

BP

=

BE

BD

，求出BC=2

6

，那么BD=CD=

1

2

BC=

6

，由勾股定理求出PD=

BP2-BD2

=

3

，EC=

BC2-BE2

=2

2

．再证明△ADC∽△BEC，由

AD

BE

=

DC

EC

，求出AD=2

3

，于是利用PA=AD-PD即可求解．

解答：解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠BDP=90°，
又∵∠EBC=∠DBP，
∴△BEC∽△BDP，
∴

BC

BP

=

BE

BD

，即

BC

3

=

4

1 2 BC

，
∴BC=2

6

，
∴BD=CD=

1

2

BC=

6

，
∴PD=

BP2-BD2

=

32-( 6 )2

=

3

，
EC=

BC2-BE2

=

(2 6 )2-42

=2

2

．
在△ADC与△BEC中，
∵∠C=∠C，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC∽△BEC，
∴

AD

BE

=

DC

EC

，即

AD

4

=

6

2 2

，
解得AD=2

3

，
∴PA=AD-PD=2

3

-

3

=

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求出PD与AD的长是解题的关键．