如图.在平面直角坐标系中.已知抛物线C1:y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$的顶点为M.与y轴相交于点N.先将抛物线C1沿x轴翻折.再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2:直线l:y=kx+b经过M.N两点．(1)结合图象.直接写出不等式$\frac{3}{2}$x2+6x+2＜kx+b的解集,(2)若抛物线C2的顶点与点M关于原点对称.求p的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C₁：y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C₁沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C₂：直线l：y=kx+b经过M，N两点．
（1）结合图象，直接写出不等式$\frac{3}{2}$x²+6x+2＜kx+b的解集；
（2）若抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C₂的解析式；
（3）若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后，与（2）中的抛物线C₂存在公共点，求3-4q的最大值．

分析（1）令抛物线C₁的解析式中x=0，求出y值即可得出点N的坐标，再利用配方法将抛物线C₁的解析式配方，即可得出顶点M的坐标，结合函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集；
（2）找出点M关于x轴对称的对称点的坐标，找出点M关于原点对称的对称点的坐标，二者横坐标做差即可得出p的值，根据抛物线的开口大小没变，开口方向改变，再结合平移后的抛物线的顶点坐标即可得出抛物线C₂的解析式；
（3）由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式，根据直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C₂存在公共点，即可得出方程-$\frac{3}{2}$x²+6x-2=3x+2-q有实数根，利用根的判别式△≥0，即可求出q的取值范围，再根据一次函数的性质即可得出当q=$\frac{5}{2}$时，3-4q取最大值，代入数据求出最值即可．

解答解：（1）令y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$+6x+2中x=0，则y=2，
∴N（0，2）；
∵y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$+6x+2=$\frac{3}{2}$（x+2）²-4，
∴M（-2，-4）．
观察函数图象，发现：当-2＜x＜0时，抛物线C₁在直线l的下方，
∴不等式$\frac{3}{2}$x²+6x+2＜kx+b的解集为-2＜x＜0．
（2）∵抛物线C₁：y=$\frac{3}{2}{x}^{2}+6x+2$的顶点为M（-2，-4），
沿x轴翻折后的对称点坐标为（-2，4）．
∵抛物线C₂的顶点与点M关于原点对称，
∴抛物线C₂的顶点坐标为（2，4），
∴p=2-（-2）=4．
∵抛物线C₂与C₁开口大小相同，开口方向相反，
∴抛物线C₂的解析式为y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²+4=-$\frac{3}{2}$x²+6x-2．
（3）将M（-2，-4）、N（0，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-4}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=3x+2．
∵若直线l沿y轴向下平移q个单位长度后与抛物线C₂存在公共点，
∴方程-$\frac{3}{2}$x²+6x-2=3x+2-q有实数根，即3x²-6x+8-2q=0有实数根，
∴△=（-6）²-4×3×（8-2q）≥0，解得：q≥$\frac{5}{2}$．
∵-4＜0，
∴当q=$\frac{5}{2}$时，3-4q取最大值，最大值为-7．

点评本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出M、N点的坐标；（2）根据点M找出抛物线C₂的顶点坐标；（3）利用根的判别式求出q的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数与二次函数有交点，将一次函数解析式代入二次函数解析式中利用根的判别式△≥0来解决问题是关键．

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